实际问题中导数的意义

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网
3.2.1 实际问题中导数的意义
过程:
一、主要知识点:
1. 基本方法:
(1)函数的导数与函数的单调性的关系:设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内 >0,那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内 <0,那么函数y=f(x)为这个区间内的减函数.
(2)用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)>0解不等式,得x的范围就是递增区间. ③令f′(x)<0解不等式,得x的范围,就是递减区间.
(3)判别f(x0)是极大、极小值的方法:若 满足 ,且在 的两侧 的导数异号,则 是 的极值点, 是极值,并且如果 在 两侧满足“左正右负”,则 是 的极大值点, 是极大值;如果 在 两侧满足“左负右正”,则 是 的极小值点, 是极小值.
(4)求函数f(x)的极值的步骤:①确定函数的定义区间,求导数f′(x). ②求方程f'(x)=0的根. ③用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格. 检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,即都为正或都为负,则f(x)在这个根处无极值.
(5)利用导数求函数的最值步骤:(1)求 在 内的极值;(2)将 的各极值与 、 比较得出函数 在 上的最值.
2、基本思想:学习的目的,就是要会实际应用,本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识,思想方法以及能力.
解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再化为常规问题,选择合适的数学方法求解.
根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理选择这些条件间的联系方式,适当选定变化区间,构造相应的函数关系,是这部分的主要技巧.

二、典型例题
例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?
思路一:设箱底边长为x cm,则箱高 cm,得箱子容积V是箱底边长x的函数: ,从求得的结果发现,箱子的高恰好是原正方形边长的 ,这个结论是否具有一般性?

变式:从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块,把各边折起来,做成一个无盖的箱子,箱子的高是这个正方形边长的几分之几时,箱子容积最大?

提示: 答案: .
评注:这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是三次函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识,求三次目标函数的最值就变得非常简单,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数,简单的分式函数,简单的无理函数,简单的指数,对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值. 可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.

例2、(2006年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y(升),关于行驶速度 (千米/小时)的函数解析式可以表示为:
已知甲、乙两地相距100千米.
(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
解:(I)当 时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,
要耗油 (升).
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.
(II)当速度为 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为 升,
依题意得

令 得
当 时, 是减函数;
当 时, 是增函数.
当 时, 取到极小值
因为 在 上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.

例3、求抛物线 上与点 距离最近的点.
解:设 为抛物线 上一点,
则 .
与 同时取到极值.
令 .
由 得 是唯一的驻点.
当 或 时, 是 的最小值点,此时 .
即抛物线 上与点 距离最近的点是(2,2).

例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比,而与该烟囱喷出的烟尘量成正比,现有两座烟囱相距20 ,其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍,试求出两座烟囱连线上的一点,使该点的烟尘浓度最小.
解:不失一般性,设烟囱A的烟尘量为1,则烟囱B的烟尘量为8 并设AC= ,
于是点C的烟尘浓度为 ,
其中 为比例系数.

令 ,有 ,
即 .
解得在(0,20)内惟一驻点 .
由于烟尘浓度的最小值客观上存在,并在(0,20)内取得,
在惟一驻点 处,浓度 最小,即在AB间距A处 处的烟尘浓度最小.

例5、已知抛物线y=-x2+2,过其上一点P引抛物线的切线l,使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小,求l的方程.
解:设切点P(x0,-x02+2)(x0>0),由y=-x2+2得y′=-2x,
∴k1=-2x0.
∴l的方程为y-(-x02+2)=-2x0(x-x0),令y=0,得x= 令x=0,得y=x02+2,
∴三角形的面积为S= ? ?(x02+2)= .
∴S′= . 令S′=0,得x0= (∵x0>0).  
∴当0<x0< 时,S′<0; 当x0> 时,S′>0.
∴x0= 时,S取极小值 ∵只有一个极值,
∴x= 时S最小,此时k1=- ,切点为( , ).
∴l的方程为y - =- (x- ),即2 x+3y-8=0.

例6、在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?
解:设∠BCD=Q,则BC= ,CD=40cotθ,(0<θ< =,
∴AC=50-40cotθ
设总的水管费用为f(θ),依题意,有
f(θ)=3a(50-40?cotθ)+5a?
=150a+40a?
∴f′(θ)=40a?
令f′(θ)=0,得cosθ=
根据问题的实际意义,当cosθ= 时,函数取得最小值,
此时sinθ= ,∴cotθ= ,
∴AC=50-40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.

例7、(2006年江苏卷)请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?

解:设OO1为 ,则
由题设可得正六棱锥底面边长为: ,
故底面正六边形的面积为:
= ,(单位: )
帐篷的体积为:
(单位: )
求导得 .
令 ,解得 (不合题意,舍去), ,
当 时, , 为增函数;
当 时, , 为减函数.
∴当 时, 最大.
答:当OO1为 时,帐篷的体积最大,最大体积为 .
点评:本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力.
三、小结 :
⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,找出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义.
⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时,如果函数在此区间上只有一个极值点,那么这个极值就是所求最值,不必再与端点值比较.
⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
四、课后作业:

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