高二数学下册同步检测训练题(含答案)

编辑: 逍遥路 关键词: 高二 来源: 高中学习网
一、
1.设变量x、y满足约束条件x-y≥0,x+y≤1,x+2y≥1,则目标函数z=5x+y的最大值为(  )
A.2         B.3
C.4 D.5
解析:可行域如下图,
由x+2y=1,x+y=1解得最优解为A(1,0).
∴zmax=5,故选D.
答案:D
2.设集合A={(x,y)x,y,1-x-y是三角形的三边长},则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(  )
解析:∵x,y,1-x-y是三角形的三边长,
∴A是由不等式组x+y>12,x<12,y<12确定的.
不等式x+y>12表示直线x+y-12=0的上方部分点的集合,x<12表示直线x-12=0的左侧部分点的集合,y<12表示直线y-12=0的下侧部分点的集合,故选A.
答案:A
3.在△ABC中,三顶点A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,则z=x-y的最大值为(  )
A.1 B.-3
C.-1 D.3
解析:点P在△ABC内部及其边界运动,可行域如下图所示.在阴影部分交点C(1,0)处,目标函数z=x-y取得最大值,最大值为1,故选A.
答案:A
4.给出下列四个命题:
①对于在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),实数Ax+By+C的符号相同;
②不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集;
③线性约束条件只能用一次不等式来表示,而不能用一次方程表示;
④在线性规划问题中,把使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫作该问题的最优解.
其中正确的命题是(  )
A.①③④ B.①②④
C.①②③ D.②③④
解析:根据线性规划有关知识可知①②④正确,故选B.
答案:B
5.在直角坐标系xOy中,已知△AOB三边所在的直线的方程分别是x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是(  )
A.95个 B.91个
C.88个 D.75个
解析:由题可知,可行域如下图所示,在△AOB内部和边上整数点的总数是:11+10+9+9+8+7+7+6+5+5+4+3+3+2+1+1=91(个),故选B.
答案:B
6.已知变量x、y满足约束条件x-y+2≤0,x≥1,x+y-7≤0.则yx的取值范围是(  )
A.[95,6]
B.(-∞,95]∪[6,+∞)
C.(-∞,3)∪[6,+∞)
D.[3,6]
解析:画出可行域,由yx的几何意义知,最优解为A(52,92),B(1,6),而kOA=95,kOB=6,∴yx的范围为[95,6],故选A.
答案:A
7.(2009?山东卷)设x,y满足约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为(  )
A.256 B.83
C.113 D.4
解析:点(x,y)所满足的可行域如图中阴影部分所示,根据目标函数所表示的直线的斜率是负值,可知目标函数只有在点A处取得最大值,故实数a,b满足4a+6b=12,即2a+3b=6,故2a+3b=16(2a+3b)(2a+3b)=16(13+6ba+6ab)≥16(13+12)=256,当且仅当a=b时取等号.
答案:A
8.如右图所示,目标函数z=mx-y的可行域为四边形OACD(含边界),若(1,85)是唯一的最优解,则实数m的范围是(  )
A.[-25,+∞)∪(-∞,-85]
B.(-∞,-25)
C.(-85,-25)
D.[-85,+∞)
解析:令z=mx-y=0,则目标函数y=mx的斜率为m.如图所示,kAC=851-2=-85,kCD=2-850-1=-25,由题意知点(1,85)是唯一最优解,所以推得实数m的范围是-85答案:C
9.在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)(x,y)∈A}的面积为(  )
A.2 B.1
C.12 D.14
解析:令x+y=s,x-y=t,由题意可得平面区域B={(s,t)s≤1,s+t≥0,s-t≥0},平面区域如图所示,S△AOB=12×2×1=1,故选B.
答案:B
10.已知函数f(x)=x2-2x,则满足约束条件f?x?+f?y?≤0,x-y≥0,x+y≥2的点(x,y)所形成的区域的面积为(  )
A.4π B.2π
C.π2 D.π
解析:不等式组表示的平面区域如下图所示,
阴影面积是圆(x-1)2+(y-1)2=2面积的14,即π2,故选C.
答案:C
二、题
11.设变量x,y满足约束条件x-y+3≥0,x+y≥0,-2≤x≤3,则目标函数2x+y的最小值为________
解析:z=2x+y,画出可行域如下图.
最优解为M(-32,32),zmin=-32,故填-32.
答案:-32
12.设变量x,y满足条件5x+3y≤15,y≤x+1,x-5y≤3.则目标函数z=3x+5y的最大值是________,最小值是________.
解析:不等式组的可行域为下图中阴影部分,
作出直线3x+5y=0.
解y=x+1,x-5y=3得(-2,-1),所以zmin=-11;
解y=x+1,5x+3y=15得(32,52),所以zmax=17.
答案:17;-11
13.可行域D满足x-y+1≥0,x+y-4≤0,x≥0,y≥0.可行域E满足0≤x≤4,0≤y≤52,则D、E对应的点集间的关系是________.
解析:根据题意可得D、E的可行域如下图所示.
由x-y+1=0,x+y-4=0求得P(32,52),∴D?E.
答案:D?E
14.设D是不等式组x+2y≤10,2x+y≥3,0≤x≤4,y≥1表示的平面区域,则D中的点P(x,y)到直线x+y=10的距离的最大值是________.
解析:画出x+2y≤10,2x+y≥3,0≤x≤4,y≥1表示的平面区域如下图所示,
则D内的点到直线x+y=10的最大距离为
d=1+1-102=42.
答案:42
三、解答题
15.已知x,y满足3x+8y+15≥0,5x+3y-6≤0,2x-5y+10≥0,求z=x-y的取值范围.
解析:先画出约束条件的可行域,如下图,
由3x+8y+15=0,5x+3y-6=0得B(3,-3),
由3x+8y+15=0,2x-5y+10=0得A(-5,0).
当z为常数时,-z表示直线z=x-y在y轴上的截距,如下图所示,当点(x,y)位于A点时,-z取最大值,∴zmin=-5-0=-5;
当点(x,y)位于B点时,-z取最小值,
∴zmax=3-(-3)=6.
综上所述,目标函数z的取值范围是[-5,6].
16.求不等式组3x-2y-2>0,x+4y+4>0,2x+y-6<0的整数解.
解析:不等式组的可行域如下图:
由x+4y+4=0,3x-2y-2=0,解得A(0,-1);
由x+4y+4=0,2x+y-6=0,解得B(4,-2);
由3x-2y-2=0,2x+y-6=0,解得C(2,2).
∴整数解为(2,1),(1,0),(2,0),(1,-1),(2,-1),(3,-1).
17.已知x,y满足条件4x+2y-7≥0,x-2y+2≥0,3x-y-4≤0,试求z=x2+y2+2x+4y的取值范围.
解析:如图作出约束条件所表示的平面区域△ABC,易求A(2,2),B(1,32),C(32,12),因为x2+y2+2x+4y=?x+1?2+?y+2?2-5,又因为方程Z=(x+1)2+(y+2)2表示的曲线为以点D(-1,-2)为圆心,半径为Z的圆,所以观察图知,当圆过A点时,Z取得最大值5.过D作DE垂直直线BC于E,易知kDE=12,从而知直线DE的方程为x-2y-3=0,由x-2y-3=0,4x+2y-7=0?x=2,y=-12,即点E的坐标为(2,-12),显然点E在线段BC的延长线上,从而知当圆过点C时,Z取得最小值522,故z=x2+y2+2x+4y的取值范围为[302,25].
18.实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:
(1)点(a,b)对应的区域的面积;
(2)b-2a-1的取值范围;
(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.
解析:方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,由此可得不等式组
f?0?>0,f?1?<0,f?2?>0?b>0,a+2b+1<0,a+b+2>0.由a+2b+1=0,a+b+2=0
解得A(-3,1).
由a+b+2=0,b=0.解得B(-2,0).
由a+2b+1=0,b=0.解得C(-1,0).
∴在如图所示的aOb坐标平面内,满足约束条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).
(1)△ABC的面积为S△ABC=12×BC×h=12(h为A到Oa轴的距离).
(2)b-2a-1的几何意义是点(a,b)和点D(1,2)连线的斜率.
∵kAD=2-11+3=14,kCD=2-01+1=1,由图可知kAD(3)∵(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,∴(a-1)2+(b-2)2∈(8,17).


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