高三数学练习题及答案:一元二次不等式

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  1.若不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立,则关于t的不等式at2+2t-3<1的解集为

  ()

  A.(-3,1)B.(-∞,-3)∪(1,+∞)

  C.∅D.(0,1)

  解析:不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立,则Δ=(-2a)2-4a<0,即a2-a<0,解得0

  所以不等式at2+2t-3<1转化为t2+2t-3>0,解得t<-3或t>1,故选B.

  答案:B

  2.若不等式组x2-2x-3≤0,x2+4x-1+a≤0的解集不是空集,则实数a的取值范围是

  ()

  A.(-∞,-4]B.[-4,+∞)

  C.[-4,20]D.[-40,20)

  解析:设f(x)=x2+4x-(1+a),根据已知可转化为存在x0∈[-1,3]使f(x0)≤0.易知函数f(x)在区间[-1,3]上为增函数,故只需f(-1)=-4-a≤0即可,解得a≥-4.

  答案:B

  3.(2018•江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.

  解析:∵f(x)是定义在R上的奇函数,

  ∴f(0)=0,

  又当x<0时,-x>0,

  ∴f(-x)=x2+4x.

  又f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),

  ∴f(x)=-x2-4x(x<0),

  ∴f(x)=x2-4x,x>0,0,x=0,-x2-4x,x<0.

  (1)当x>0时,由f(x)>x得x2-4x>x,解得x>5;

  (2)当x=0时,f(x)>x无解;

  (3)当x<0时,由f(x)>x得-x2-4x>x,

  解得-5

  综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).

  答案:(-5,0)∪(5,+∞)

  4.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.

  (1)解关于a的不等式f(1)>0;

  (2)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),求实数a,b的值.

  解:(1)∵f(1)>0,∴-3+a(6-a)+b>0,

  即a2-6a+3-b<0.

  Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b.

  ①当Δ≤0,即b≤-6时,原不等式的解集为∅.

  ②当Δ>0,即b>-6时,

  方程a2-6a+3-b=0有两根a1=3-6+b,

  a2=3+6+b,

  ∴不等式的解集为(3-6+b,3+6+b).

  综上所述:当b≤-6时,原不等式的解集为∅;

  当b>-6时,原不等式的解集为(3-6+b,3+6+b).

  (2)由f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0,

  即3x2-a(6-a)x-b<0.∵它的解集为(-1,3),

  ∴-1与3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根.

  ∴-1+3=a6-a3,-1×3=-b3,

  解得a=3-3,b=9或a=3+3,b=9.


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