北京东城区高三上册理科数学12月联考试题(带答案)

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷
高三 数学(理科)
命题校:125中 2012年12月
本试卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.选出符合题目要求的一项填在机读卡上.
1. 若集合 ,且 ,则集合 可能是( )
A.   B.   C.   D.
2. 复数 在复平面上对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3. 已知 是两条不同直线, 是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 ) ,
则该棱锥的体积是( )
A. B.
C. D. 正视图 侧视图

5.设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知数列 为等比数列, , ,则 的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 在 上是增函数, ,若 ,则 的
取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在双曲线右支上存
在点 ,满足 ,且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长,则该双
曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.


第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知 ,且 为第二象限角,则 的值为 .
10.已知向量 .若 为实数, ∥ ,则
的值为 .
11.椭圆 的焦点为 ,点 在椭圆上,若 ,
的小大为 .
12.若曲线 的某一切线与直线 平行,则切点坐标
为 ,切线方 程为 .
13. 若 ,则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的
是 . (写出所有正确命题的编号).
① ; ② ; ③ ;
④ ; ⑤
14. 已知函数 在区间 内任取两个实数 ,且 ,
不等式 恒成立,则实数 的取值范围为 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出字说明、证明过程
或演算步骤.
15.(本小题满分 分)
已知:在 中, 、 、 分别为角 、 、 所对的边,且角 为锐角,

(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)当 , 时,求 及 的长.

16.(本小题满分 分)
已知:函数 的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求 函 数 的 解 析 式;
(Ⅱ)在△ 中,角 的 对 边 分 别
是 ,若
的 取 值 范 围.

17.(本小题满分 分)
已知:如图,在四棱锥 中,四边形 为正方形, ,且 , 为 中点.
(Ⅰ)证明: // 平面 ;
(Ⅱ)证明:平面 平面 ;
(Ⅲ)求二面角 的正弦值.
18.(本小题满分13分)
已知:数列 的前 项和为 ,且满足 , .
(Ⅰ)求: , 的值;
(Ⅱ)求:数列 的通项公式;
(Ⅲ)若数列 的前 项和为 ,且满足 ,求数列 的
前 项和 .
19.(本小题满分14分)
已知:函数 ,其中 .
(Ⅰ)若 是 的极值点,求 的值;
(Ⅱ)求 的单调区间;
(Ⅲ)若 在 上的最大值是 ,求 的取值范围.
20.(本小题满分 分)
已知椭圆 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦
点构成的三角形的面积为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)已知动直线 与椭圆 相交于 、 两点. ①若线段 中点的
横坐标为 ,求斜率 的值;②若点 ,求证: 为定值.

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考答案
高三数学(理科)
参考答案
(以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分)
一.选择题
1. A 2. D 3. B 4. A 5. C 6. D 7. B 8. D
二.题
9. 10. 11.
12.(1,2), 13.①③⑤ 14.

15.(本小题满分 分)
解:(Ⅰ)解:因为cos2C=1-2sin2C= ,及
所以sinC= . ………………………… 4分
(Ⅱ)解:当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理 ,得c=4 ………7分
由cos2C=2cos2C-1= ,及 得
cosC= ………………………9分
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得
b2- b-12=0 …………………… 12分
解得 b=2 ……………………13分

16.(本小题满分 分)
解:(Ⅰ)由图像知 , 的最小正周期 ,故 …… 2分
将点 代入 的解析式得 ,又
故 所以 ……………… 5分
(Ⅱ)由 得
所以 ……………………8分
因为 所以 ………………9分
……………………11分
……………………13分

17.(本小题满分 分)
解: (Ⅰ)

证明:连结BD交AC于点O,连结EO. ……………………1分
O为BD中点,E为PD中点,
∴EO//PB. ………… …………2分
EO 平面AEC,PB 平面AEC, ……………………3分
∴ PB//平面AEC.
(Ⅱ)
证明:
PA⊥平面ABCD.
平面ABCD,
∴ . ……………………4分
又 在正方形ABCD中 且 , ……………………5分
∴CD 平面PAD. ……………………6分
又 平面PCD,
∴平面 平面 . ……………………7分
(Ⅲ)如图,以A为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空
间直角坐标系. ………8分

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D( 0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) . ……………9分
PA 平面ABCD,∴ 是平面ABCD的法向量, =(0, 0, 2).
设平面AEC的法向量为 , ,
则 即

∴令 ,则 . ………………11分
∴ , …………………12分
二面角 的正弦值为 …………………13分

18.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)
令 ,解得 ;令 ,解得 ……………2分
(Ⅱ)
所以 ,( )
两式相减得 ……………4分
所以 ,( ) ……………5分
又因为
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列 ……………6分
所以 ,即通项公式 ( ) ……………7分
(Ⅲ) ,所以
所以
……9分
令 ①

①-②得

……………11分
……………12分
所以 ……13分

19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解: . 依题意,令 ,解得 .
经检验, 时,符合题意. ……4分
(Ⅱ)解:① 当 时, .
故 的单调增区间是 ;单调减区间是 . …………………5分
② 当 时,令 ,得 ,或 .
当 时, 与 的情况如下:


? ? ?
所以, 的单调增区间是 ;单调减区间是 和 .
当 时, 的单调减区间是 .
当 时, , 与 的情况如下:


? ? ?
所以, 的单调增区间是 ;单调减区间是 和 .
③ 当 时, 的单调增区间是 ;单调减区间是 .
综上,当 时, 的增区间是 ,减区间是 ;
当 时, 的增区间是 ,减区间是 和 ;
当 时, 的减区间是 ;
当 时, 的增区间是 ;减区间是 和 .
……11分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 时, 在 上单调递增,由 ,知不合题意.

当 时, 在 的最大值是 ,
由 ,知不合题意.
当 时, 在 单调递减,
可得 在 上的最大值是 ,符合题意.
所以, 在 上的最大值是 时, 的取值范围是 . …………14分

20.(本题满分 分)
解:(Ⅰ)因为 满足 , ,…………2分
。解得 ,则椭圆方程为 ……………4分
(Ⅱ)(1)将 代入 中得
……………………………………………………6分

………………………………………… …………………7分
因为 中点的横坐标为 ,所以 ,解得 …………9分
(2)由(1)知 ,
所以 ……………11分

………………………………………12分



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