函数的综合问题

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2.12 函数的综合问题

●知识梳理
函数的综合应用主要体现在以下几方面:
1.函数内容本身的相互综合,如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.
2.函数与其他数学知识点的综合,如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.
3.函数与实际应用问题的综合.
●点击双基
1.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则
A.b≤1 B.b<1 C.b≥1 D.b=1
解析:当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0,从而2x-b≥1,即b≤2x-1.而x∈[1,+∞)时,2x-1单调增加,
∴b≤2-1=1.
答案:A
2.若f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象经过点A(0,3)和B(3,-1),则不等式f(x+1)-1<2的解集是___________________.
解析:由f(x+1)-1<2得-2<f(x+1)-1<2,即-1<f(x+1)<3.
又f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象过点A(0,3),B(3,-1),
∴f(3)<f(x+1)<f(0).
∴0<x+1<3,-1<x<2.
答案:(-1,2)
●典例剖析
【例1】 取第一象限内的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),使1,x1,x2,2依次成等差数列,1,y1,y2,2依次成等比数列,则点P1、P2与射线l:y=x(x>0)的关系为
A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上
C.点P1在l的下方,P2在l的上方D.点P1、P2都在l的下方
剖析:x1= +1= ,x2=1+ = ,y1=1× = ,y2= ,∵y1<x1,y2<x2,
∴P1、P2都在l的下方.
答案:D
【例2】 已知f(x)是R上的偶函数,且f(2)=0,g(x)是R上的奇函数,且对于x∈R,都有g(x)=f(x-1),求f(2002)的值.
解:由g(x)=f(x-1),x∈R,得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=
g(x-3)=f(x-4),也即f(x+4)=f(x),x∈R.
∴f(x)为周期函数,其周期T=4.
∴f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=0.
评述:应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.
【例3】 函数f(x)= (m>0),x1、x2∈R,当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)= .
(1)求m的值;
(2)数列{an},已知an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1),求an.
解:(1)由f(x1)+f(x2)= ,得 + = ,
∴4 +4 +2m= [4 +m(4 +4 )+m2].
∵x1+x2=1,∴(2-m)(4 +4 )=(m-2)2.
∴4 +4 =2-m或2-m=0.
∵4 +4 ≥2 =2 =4,
而m>0时2-m<2,∴4 +4 ≠2-m.
∴m=2.
(2)∵an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1),∴an=f(1)+f( )+ f( )+…+f( )+f(0).
∴2an=[f(0)+f(1)]+[f( )+f( )]+…+[f(1)+f(0)]= + +…+ = .
∴an= .
深化拓展
用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.
【例4】 函数f(x)的定义域为R,且对任意x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)证明f(x)是奇函数;
(2)证明f(x)在R上是减函数;
(3)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
(1)证明:由f(x+y)=f(x)+f(y),得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),∴f(x)+ f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而有f(x)+f(-x)=0.
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
(2)证明:任取x1、x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1).由x1<x2,∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)<0.
∴-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2),从而f(x)在R上是减函数.
(3)解:由于f(x)在R上是减函数,故f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3),最小值是f(3).由f(1)=-2,得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6,f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6,最小值是-6.
深化拓展
对于任意实数x、y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意实数x,都有x*m=x,试求m的值.
提示:由1*2=3,2*3=4,得

∴b=2+2c,a=-1-6c.
又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立,
∴ ∴b=0=2+2c.
∴c=-1.∴(-1-6c)+cm=1.
∴-1+6-m=1.∴m=4.
答案:4.
●闯关训练
夯实基础
1.已知y=f(x)在定义域[1,3]上为单调减函数,值域为[4,7],若它存在反函数,则反函数在其定义域上
A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7
C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3
解析:互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性,f-1(x)的值域是[1,3].
答案:C
2.关于x的方程x2-4x+3-a=0有三个不相等的实数根,则实数a的值是___________________.
解析:作函数y=x2-4x+3的图象,如下图.

由图象知直线y=1与y=x2-4x+3的图象有三个交点,即方程x2-4x+3=1也就是方程x2-4x+3-1=0有三个不相等的实数根,因此a=1.
答案:1
3.若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(px- )(x∈R),则f(x)的一个正周期为__________.
解析:由f(px)=f(px- ),
令px=u,f(u)=f(u- )=f[(u+ )- ],∴T= 或 的整数倍.
答案: (或 的整数倍)
4.已知关于x的方程sin2x-2sinx-a=0有实数解,求a的取值范围.
解:a=sin2x-2sinx=(sinx-1)2-1.
∵-1≤sinx≤1,∴0≤(sinx-1)2≤4.
∴a的范围是[-1,3].
5.记函数f(x)= 的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.
(1)求A;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
解:(1)由2- ≥0,得 ≥0,
∴x<-1或x≥1,即A=(-∞,-1)∪[1,+∞).
(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a.∴B=(2a,a+1).
∵B A,∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥ 或a≤-2.
而a<1,∴ ≤a<1或a≤-2.
故当B A时,实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[ ,1).
培养能力
6.(理)已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b≥0,c∈R).
若f(x)的定义域为[-1,0]时,值域也是[-1,0],符合上述条的函数f(x)是否存在?若存在,求出f(x)的表达式;若不存在,请说明理由.
解:设符合条的f(x)存在,
∵函数图象的对称轴是x=- ,
又b≥0,∴- ≤0.
①当- <- ≤0,即0≤b<1时,
函数x=- 有最小值-1,则
或 (舍去).
②当-1<- ≤- ,即1≤b<2时,则
(舍去)或 (舍去).
③当- ≤-1,即b≥2时,函数在[-1,0]上单调递增,则 解得
综上所述,符合条的函数有两个,
f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.
()已知二次函数f(x)=x2+(b+1)x+c(b≥0,c∈R).
若f(x)的定义域为[-1,0]时,值域也是[-1,0],符合上述条的函数f(x)是否存在?若存在,求出f(x)的表达式;若不存在,请说明理由.
解:∵函数图象的对称轴是
x=- ,又b≥0,∴- ≤- .
设符合条的f(x)存在,
①当- ≤-1时,即b≥1时,函数f(x)在[-1,0]上单调递增,则

②当-1<- ≤- ,即0≤b<1时,则
(舍去).
综上所述,符合条的函数为f(x)=x2+2x.
7.已知函数f(x)=x+ 的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+ .设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为、N.

(1)求a的值.
(2)问:P•PN是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
(3)设O为坐标原点,求四边形OPN面积的最小值.
解:(1)∵f(2)=2+ =2+ ,∴a= .
(2)设点P的坐标为(x0,y0),则有y0=x0+ ,x0>0,由点到直线的距离公式可知,P= = ,PN=x0,∴有P•PN=1,即P•PN为定值,这个值为1.
(3)由题意可设(t,t),可知N(0,y0).
∵P与直线y=x垂直,∴kP•1=-1,即 =-1.解得t= (x0+y0).
又y0=x0+ ,∴t=x0+ .
∴S△OP= + ,S△OPN= x02+ .
∴S四边形OPN=S△OP+S△OPN= (x02+ )+ ≥1+ .
当且仅当x0=1时,等号成立.
此时四边形OPN的面积有最小值1+ .
探究创新
8.有一块边长为4的正方形钢板,现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作了如下设计:如图(a),在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高为小正方形边长,如图(b).
(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1;
(2)由于上述设计存在缺陷(有所浪费),请你重新设计切、焊方法,使浪费减少,而且所得长方体容器的容积V2>V1.

解:(1)设切去正方形边长为x,则焊接成的长方体的底面边长为4-2x,高为x,
∴V1=(4-2x)2•x=4(x3-4x2+4x)(0<x<2).
∴V1′=4(3x2-8x+4).
令V1′=0,得x1= ,x2=2(舍去).
而V1′=12(x- )(x-2),
又当x< 时,V1′>0;当 <x<2时,V1′<0,
∴当x= 时,V1取最大值 .
(2)重新设计方案如下:
如图①,在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;如图②,将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③,将图②焊成长方体容器.
新焊长方体容器底面是一长方形,长为3,宽为2,此长方体容积V2=3×2×1=6,显然V2>V1.
故第二种方案符合要求.

●思悟小结
1.函数知识可深可浅,复习时应掌握好分寸,如二次函数问题应高度重视,其他如分类讨论、探索性问题属热点内容,应适当加强.
2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中,掌握了这一点,将会到函数问题既千姿百态,又有可循.
●教师下载中心
教学点睛
数形结合和数形转化是解决本问题的重要思想方法,应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.
拓展题例
【例1】 设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有 >0.
(1)若a>b,比较f(a)与f(b)的大小;
(2)解不等式f(x- )<f(x- );
(3)记P={xy=f(x-c)},Q={xy=f(x-c2)},且P∩Q= ,求c的取值范围.
解:设-1≤x1<x2≤1,则x1-x2≠0,
∴ >0.
∵x1-x2<0,∴f(x1)+f(-x2)<0.
∴f(x1)<-f(-x2).
又f(x)是奇函数,∴f(-x2)=-f(x2).
∴f(x1)<f(x2).
∴f(x)是增函数.
(1)∵a>b,∴f(a)>f(b).
(2)由f(x- )<f(x- ),得
∴- ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x- ≤x≤ }.
(3)由-1≤x-c≤1,得-1+c≤x≤1+c,
∴P={x-1+c≤x≤1+c}.
由-1≤x-c2≤1,得-1+c2≤x≤1+c2,
∴Q={x-1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ,
∴1+c<-1+c2或-1+c>1+c2,
解得c>2或c<-1.
【例2】已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+ +2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)()若g(x)=f(x)•x+ax,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
(理)若g(x)=f(x)+ ,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
解:(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x,y),点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(-x,2-y)在h(x)的图象上.
∴2-y=-x+ +2.
∴y=x+ ,即f(x)=x+ .
(2)()g(x)=(x+ )•x+ax,
即g(x)=x2+ax+1.
g(x)在(0,2]上递减 - ≥2,
∴a≤-4.
(理)g(x)=x+ .
∵g′(x)=1- ,g(x)在(0,2]上递减,
∴1- ≤0在x∈(0,2]时恒成立,
即a≥x2-1在x∈(0,2]时恒成立.
∵x∈(0,2]时,(x2-1)max=3,
∴a≥3.
【例3】在4月份(共30天),有一新款服装投放某专卖店销售,日销售量(单位:)f(n)关于时间n(1≤n≤30,n∈N*)的函数关系如下图所示,其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上,两直线的交点的横坐标为m,且第m天日销售量最大.

(1)求f(n)的表达式,及前m天的销售总数;
(2)按规律,当该专卖店销售总数超过400时,社会上流行该服装,而日销售量连续下降并低于30时,该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天?并说明理由.
解:(1)由图形知,当1≤n≤m且n∈N*时,f(n)=5n-3.
由f(m)=57,得m=12.
∴f(n)=
前12天的销售总量为
5(1+2+3+…+12)-3×12=354.
(2)第13天的销售量为f(13)=-3×13+93=54,而354+54>400,
∴从第14天开始销售总量超过400,即开始流行.
设第n天的日销售量开始低于30(12<n≤30),即f(n)=-3n+93<30,解得n>21.
∴从第22天开始日销售量低于30,
即流行时间为14号至21号.
∴该服装流行时间不超过10天.




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