江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题

编辑: 逍遥路 关键词: 高三 来源: 高中学习网


试卷说明:

2015届南通市高三数学期末考试一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. ?复数(其中i是虚数单位)的虚部为 .?某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间(单位:分钟)用茎叶图表示如图,图中左列表示时间的十位数,右列表示时间的个位数.则这7天?函数的值域为 .? 分别在集合{1,2,3,4}和集合{5,6,7,8}中各取一个数相乘,则积为偶数的概率为 .?在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为,则双曲线C的离心率为 . 6. 如图是计算的值的一个流程图,则常数a的取值范围是 .?函数y =的图象可由函数y = sin?x的图象作两次变换得到,第一次变换是针对函数y = sin?x的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的.A. 图象上所有点向右平移个单位;B. 图象上所有点向右平移个单位;C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变);D. 图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变).请按顺序写出两次变换的代表字母: .(只要填写一组)8. ?记max{a,b}为a和b两数中的较大数.设函数和的定义域都是R,则“和都是偶函数”是“函数为偶函数”的 条件.? 在平面直角坐标系xOy中,圆C1:关于直线l:对称的圆C2的方程为 .,②,③.x至少满足①和②中的一个,则m的取值范围是 .?设,且,则的值为 . 12. ?设平面向量a,b满足,则a?b的最小值为 .?在平面直角坐标系xOy中,曲线上的点到原点O的最短距离为 .?设函数是定义域为R,周期为2的周期函数,且当时,;已知函数 则函数和的图象在区间内公共点的个数为 .二、解答题:本大题共6小题,共90分.,b,其中.,求的值;(2)设向量c,且a + b = c,求的值.16.如图,在三棱锥P—ABC中,平面PAC平面ABC,,E,F分别是AP,AC的中点,点D在棱AB上,且.求证:(1)平面PBC;(2)平面DEF平面PAC.17.如图,港口A在港口O的正东120海里处,小岛B在港口O的北偏东的方向,且在港口A北偏西的方向上.的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O...的各项均为整数,Sn为其前n项和,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)试求所有的正整数m,使得为数列中的项. 19.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短半轴长为2,椭圆C上?的点到右焦点的距离的最小值为...,其图象在点处切线的斜率为.的单调区间(用只含有的式子表示);(2)当时,令,设,是函数的两个根,是,的等差中项,求证:(为函数的导函数). 2. 72 3. 4. 5. 2 6. 7. BD(DA) 8. 充分不必要 9. 10. 11. 12. 513. 14. 1515.【解】(1)因为a,b,所以. ……2分因为,所以a?b = 0.……………………………4分于是,故. …………6分(2)因为a + b ,所以…………………………8分 由此得,由,得,又,故. ………………………………10分代入,得.…………………12分而,所以.…………………14分16. 【证】(1)在△PAC中,因为E,F分别是AP,AC的中点,所以EF // PC.………2分又因为平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.………………5分(2)连结CD.因为,,所以△ACD为正三角形.因为F是AC的中点,所以.…………………7分因为平面PAC?平面ABC,平面ABC,平面PAC?平面ABC,所以平面PAC.?……………………11分因为平面DEF,所以平面DEF平面PAC.…………………………14分17.【解】(1)由题意知,在△OAB中, OA=120,.,而快艇的速度为60海里/小时,所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时...,而在△OCB中,,………………………9分由余弦定理,得,即,亦即,解得或(舍去).即给养快艇驶离港口A后,最少经过3小时能和科考船相遇?…14分18.【解】(1)因为是等差数列,且,而,于是.…2分 设的公差为d,则由得, 化简得,即,解得或, 但若,由知不满足“数列的各项均为整数”,故.………5分 于是.……………………………………………………7分(2)因为,, ……10分所以要使为数列中的项,必须是3的倍数,于是在中取值,但由于是3的倍数,所以或.由得;由得. …………………………………………13分当时,;当时,.所以所求m的值为3和4.…………………………………………………………16分另解:因为 ,所以要使为数列中的项,必须是3的倍数,于是只能取1或.(后略)19.【解】(1)由题意,可设椭圆C的方程为,焦距为2c,离心率为e..,则,于是当d最小即P为右顶点时,PF取得最小值,所以.所以椭圆方程为.到直线的距离为h,则由题设及面积公式知.的斜率不存在或斜率为时,或于是.的斜率存在且不为时,则,解得 同理………………………………………9分在Rt△OAB中,,则 ,所以.到直线的距离为定值.,所以.的最小值即求的最小值., 令,则,于是, …………………14分 因为,所以, 当且仅当,即,取得最小值,因而 所以的最小值为.的定义域为.,则,即..①当时,,在上是单调减函数;?②当时,令,得(负舍), 所以在上是单调减函数,在上是单调增函数; ③当时,若,则恒成立,在上单调减函数; 若,令,得(负舍), 所以在上单调增函数,在上单调减函数; 综上,若,的单调减区间为,单调增区间为; 若,的单调减区间为;若,的单调增区间为,单调减区间为.,所以,即.的两零点为,,则相减得:, 因为 ,所以, 于是 .,, 则,则在上单调递减, 则,又,则..附加题:21A. 如图,AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB的延长线于点C.....△CDO,从而AB = CO,即2OB = OB + BC,得OB = BC..21B. 已知矩阵A的逆矩阵A,求矩阵A的特征值.【】因为AA=E,所以A =(A).因为A,所以A =(A).于是矩阵A的特征多项式为f (λ)= λ2-3λ-4,令f (λ) = 0,解得A的特征值λ1 = -1,λ2 =4 .21C. 在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆(为参数)的左焦点,且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程.,左焦点………………………………………3分 直线的普通方程:. …………………………………………………………6分 设过焦点且与直线平行的直线为 将代入, 所求直线的普通方程为.21D.?已知实数x,y满足: x + y ,,求证: y .. x + y ,,. y ..从棱长为1的正方体的8个顶点中任取点,设随机变量ξ.(1)求概率;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ?).正方体的8个顶点中任取点,种.,正方体每个面上均有两条对角线,所以共有条..的取值共有1,,三种情况...的分布列是1P()…………………………………………………………………8分因此. …………………………………………10分23.,F为其焦点,点E的坐标为(2,0),设M为抛物线C上异于顶点的动点,直线MF交抛物线C于另一点N,链接ME,NE并延长分别交抛物线C与点P,Q.(1)当MN?Ox时,求直线PQ与x轴的交点坐标;(2)当直线MN,PQ的斜率存在且分别记为k1,k2时,求证:.【解】(1)抛物线C:的焦点F(1,0) .当MN?Ox时,直线MN的方程为 . 将代入抛物线方程,得.?不妨设,则直线ME的方程为,由解得或,于是得.同理得,所以直线的方程为.故直线PQ与x轴的交点坐标(4,0).………………………………………………4分?(2)设直线MN的方程为,?并设.由,于是①,从而②.设直线MP的方程为,由,所以③,④.同理⑤,⑥.由①②③④⑤⑥,得. 即.…………………………………………………………………………10分 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 13 1 每天发布最有价值的6785 5 63 40 1开始结束输出SYNn
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